5º Postulado de Rieman

[Res Cogitans]

Tendo em vista a contra-intuitividade do 5º postulado da geometria de Rieman, pretendo prestar um pequeno esclarecimento que provavelmente o tornará mais claro.

5º POSTULADO DA GEOMETRIA EUCLIDIANA

O quinto postulado presente em “Elementos” diz:

“Se uma reta cortar duas outras retas de modo que a soma dos ângulos interiores, de um mesmo lado, seja menor, que dois ângulos retos, então as duas retas se cruzam quando suficientemente prolongadas, do lado da primeira reta em que se acham os dois ângulos.”

O quinto postulado de “Elementos” pode ser substituído por outros princípios sem nenhum prejuízo a geometria euclidiana.

Dois exemplos de substitutos:

“Por um ponto situado fora de uma reta dada só se pode traçar uma reta paralela à mesma” (postulado das paralelas)

“A soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a de dois ângulos retos”.

COMPARANDO OS POSTULADOS

Como tem uma apresentação mais simples, o postulado das paralelas assume atualmente o papel de 5º postulado da geometria euclidiana.

“Por um ponto P exterior a uma reta m, considerada em um mesmo plano, existe uma única reta paralela a m”.

Basta uma folha de papel e uma caneta na mão que o 5º postulado se apresenta sem maior dificuldade à nossa intuição. O mesmo não acontece com o 5º postulado de outras geometrias.

5º Postulado de Lobachevsky

“Por um ponto P fora de uma reta r passa mais de uma reta paralela a r”

5º Postulado de Rieman

“Por um ponto P fora de uma reta r não passa nenhuma reta paralela a r”

Os dois postulados não-euclidianos nos parecem altamente contra-intuitivos, mas isso se deve a um modo errado de interpreta-los.

USANDO AS FERRAMENTAS CERTAS

Ao menos o 5º postulado de Rieman pode ser tornado evidente usando as ferramentas adequadas.

Superfície: a superfície em questão é uma superfície esférica, finita e ilimitada.

Reta: as “retas” aqui são na verdade arcos de círculos máximos, sendo que os círculos só são máximos quando os planos que interceptam a esfera passam pelo centro da mesma. Todo círculo máximo tem seu centro coincidindo com o centro da esfera.

Agora o 5º postulado de Rieman fica bem mais acessível

Imagine uma bola com raio R e desenhe uma linha que circunde a esfera, o comprimento da linha deve ser 2piR. Agora tente fazer outra vez isso SEM CRUZAR com a linha que desenhou antes. Pronto. Esse exercício mental deve bastar ter a intuição do postulado em questão. Caso seja insuficiente para você, pegue uma bola de verdade e um barbante, faça um experimento análogo ao mental.

Fontes:

Filosofia da Matemática, Barker
Convite às geometrias não-euclidianas, Coutinho

[Dante, the Wicked]

Obrigado pela explicação, Res.