Prova que 1+1=2

[Dante, the Wicked]

The proof starts from the Peano Postulates, which define the natural
numbers N. N is the smallest set satisfying these postulates:

P1. 1 is in N.
P2. If x is in N, then its "successor" x' is in N.
P3. There is no x such that x' = 1.
P4. If x isn't 1, then there is a y in N such that y' = x.
P5. If S is a subset of N, 1 is in S, and the implication
(x in S => x' in S) holds, then S = N.

Then you have to define addition recursively:
Def: Let a and b be in N. If b = 1, then define a + b = a'
(using P1 and P2). If b isn't 1, then let c' = b, with c in N
(using P4), and define a + b = (a + c)'.

Then you have to define 2:
Def: 2 = 1'

2 is in N by P1, P2, and the definition of 2.

Theorem: 1 + 1 = 2

Proof: Use the first part of the definition of + with a = b = 1.
Then 1 + 1 = 1' = 2 Q.E.D.

Note: There is an alternate formulation of the Peano Postulates which
replaces 1 with 0 in P1, P3, P4, and P5. Then you have to change the
definition of addition to this:
Def: Let a and b be in N. If b = 0, then define a + b = a.
If b isn't 0, then let c' = b, with c in N, and define
a + b = (a + c)'.

You also have to define 1 = 0', and 2 = 1'. Then the proof of the
Theorem above is a little different:

Proof: Use the second part of the definition of + first:
1 + 1 = (1 + 0)'
Now use the first part of the definition of + on the sum in
parentheses: 1 + 1 = (1)' = 1' = 2 Q.E.D.


fonte: http://mathforum.org/library/drmath/view/51551.html

[zencem]

Taí uma forma para um tópico não ser debatido, nem comentado: Postá-lo em Inglês.

[user f.k.a. Cabeção]

Eu estudei os axiomas de Peano no curso de análise, já conhecia essa exposição.

Mas acho que algo tão rudimentar assim não pode ser chamado de prova.

O que ele faz basicamente é assumir a existência do número 1 (dentro do conjunto abstrato dos números naturais que ele deseja construir, esse número 1 poderia ser qualquer coisa. Outras construções partem do 0, o que definitivamente não muda nada, a não ser que a operação soma para ser igual ao sucessor deveria ser definida como +0'), definir a operação "sucessor", onde o sucessor de 1 = 1', depois definir a adição de +1, que é exatamente a mesma coisa que a operação sucessor, ou seja, 1+1=1', e depois chamar 1' de 2, e finalmente estabelecer que 1+1=2.

Como podemos ver, 2 é apenas o nome dado para 1', que é o sucessor de 1 (em algum sentido abstrato). Quando vocês falavam que 1+1=2 é uma verdade inquestionável, eu estava questionava dizendo que 2 era apenas curto para a operação 1+1, então dizer que coisas são elas mesmas não é uma verdade muito significativa.

O meu professor de análise falava algo interessante. Ele dizia que 1+1=2, 2+1=3, 3+1=4 e assim por diante são todos definições. Estamos estabelecendo uma nomenclatura para esses objetos que sofrem a operação sucessor.

Agora 3+4=7, já passa a ser um teorema rudimentar. Logo, 2+2=4, dados os axiomas de peano, já pode ser visto como um teorema, ainda que pareça mais com um corolário direto dessas definições.

[Res Cogitans]

Não estudei análise mas eu achava o mesmo que seu professor.

[Poindexter]

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[Storydor]

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[zencem]

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:emoticon12: = +

Já http://www.culturainglesa.com.br = - , ou ( )

[v3n0w]

então ta então.

[Phantom Of Death]

viajei agora