Aos Matemáticos do Fórum

[zencem]

Mais uma vêz, me exponho aos micos.

Estou curioso pra saber como foi o início da Matemática.

Hôje ela é baseada nos números ditos naturais 0 à 9, 10, 20, etc...

E antes? Desde o início?

Teve algum tosco que tentou diferente, como eu, pensando numa forma como a de 0 à 9, 11..19, 21...etc...?

Poderia existir uma matemática diferente da que existe hoje?

O homem inventou a matemática?

...Ou apenas a descobriu?

Com a palavra, os que tem qi acima da média.

Um abraço.

[Dante, the Wicked]

Zencem, esta é uma questão bastante profunda. Todo conhecimento é, em parte, construção humana. Afinal, o conhecimento é a descrição das coisas ou estado de coisas por meio de conceitos. Contudo, os conceitos não existem no mundo, mas apenas no nosso intelecto.
Por exemplo, veja as seguintes proposições: "o gato está sobre a mesa", "o felino está sobre o artefato de madeira" e "o bichinho peludo está sobre a mesa". Estas três proposições descrevem o mesmo estado de coisas com conceitos distintos, os quais estão relacionados a cosmovisões distintas. Porém, a verdade das três proposições acima depende apenas de uma coisa: que na realidade factual exista uma entidade que se enquadra dentro do conceito que assume o lugar de sujeito ("gato", "felino" ou "bichinho peludo"), exista uma entidade que se enquadra dentro do conceito que assume o lugar de predicado ("mesa" ou "artefato de madeira") e a primeira exerça, no presente, a relação "estar sobre" com a segunda.
Ou seja, uma vez que definimos nossos conceitos e construimos nossa cosmovisão, não podemos mais estipular o que é verdade, mas descobrir o que é verdade.

O mesmo vale para a matemática. Por exemplo, Euclides escreveu uma vasta obra sobre geometria, Elementos, na qual ele define conceitos geométricos como "ponto", "linha", "reta", "figura plana" etc., postula cinco axiomas, e a partir destes, deduz vários teoremas geométricos.
Euclides poderia ter definido os conceitos diferentemente de como realmente definiu. Poderia ter escolhido outros axiomas. E, se o fizesse, chegaria a outros teoremas - o que já fizeram, diga-se de passagem. Contudo, uma vez que Euclides escolheu aquelas definições em aqueles axiomas, todos teoremas que Euclides demonstrou não mais dependiam de Euclides para serem verdade dentro do próprio sistema que Euclides criou.
É como um professor meu disse uma vez: O teorema de Pitágoras não é do Pitágoras. Ele pode ter dependido de Pitágoras para ser descoberto, mas não depende de Pitágoras para ser verdadeiro dentro do sistema no qual Pitágoras trabalhava (que é o mesmo de Euclides, diga-se de passagem).

Contúdo, ainda há questões a serem consideradas. os objetos da matemática (números, figuras geométricas etc.) não existem na realidade factual, apesar de serem aplicados perfeitamente sobre esta. Então os objetos da matemática são conceitos de que, afinal de contas? Como a discussão vai longe, continuo em outras postagens.

[Dante, the Wicked]

Quanto ao que é número, Frege tem uma abordagem interessante sobre o assunto:
Podemos dizer "Sócrates é sábio" e também podemos dizer "Sócrates e Platão são sábios".
Podemos dizer "Sócrates é uma unidade" e também podemos dizer "Sócrates e Platão são unidades".
Contudo, podemos dizer "Sócrates é um" mas não podemos dizer "Sócrates e Platão são uns".
Isto porque enquanto "ser sábio" e "ser unidade" são propriedades dos elementos, enquanto "ser um" é a propriedade dos conjuntos unitários. Esta propriedade se chama cardinalidade. É assim que Frege entende o conceito de número. Um número n é a cardinalidade de todos conjuntos n-ários.
Zero é cardinalidade do conjunto vazio. Ex: o conjunto dos satélites naturais de Venus, o conjunto das relações sexuais que uma virgem teve, notas de cem reais na minha cartera, o conjunto de todo x tal que x seja diferente de x.
Um é a cardinalidade do conjunto unitário. Ex: o conjunto do atual presidente de alguma nação, conjunto dos autores de Elementos etc.
Dois é a cardinalidade do conjunto binário. Ex: Qualquer dupla setaneja, Batman e Robin, Tico e Teco etc.
E assim por diante.

[zencem]

Vá em frente, Dante.
Estou acompanhando.
Obrigado.

[Res Cogitans]

Estou curioso pra saber como foi o início da Matemática.

Zencem para satisfazer sua curiosidade pegue algum livro sobre história da matemática. Apesar do fórum ajudar em algumas dúvidas, ele não substitui procurar "na fonte".

Hôje ela é baseada nos números ditos naturais 0 à 9, 10, 20, etc...

E antes? Desde o início?

Teve algum tosco que tentou diferente, como eu, pensando numa forma como a de 0 à 9, 11..19, 21...etc...?

Acho que você não foi muito feliz quanto a clareza. Aqui você quis dizer que nosso sistema de numeração é decimal e se existem sistemas de numeção diferentes?

Poderia existir uma matemática diferente da que existe hoje?

Você tá falando da matemática como um todo ou da aritmética? Pq fica meio estranho falar "numa matemática diferente", já que a matemática não é exatamente uma coisa una. Por exemplo, não existe somente a geometria euclidiana, existem outras geometrias que partem de axiomas diferentes.

O homem inventou a matemática?

...Ou apenas a descobriu?

é uma questão em aberto da Filosofia da Matemática.

[user f.k.a. Cabeção]

Oi Zencem,

A questão que você colocou é interessante, pois poucas pessoas realmente se dão conta da extrema importância dela. Eu posso recomendar alguns livros de história da matemática e de metamatemática que eu gostei (embora alguns deles eu não tenha lido inteiramente).

O pensamento matemático deve ter surgido junto com o homem e a sua capacidade de raciocinar, mas obviamente, esse pensamento se desenvolveu com a civilização e hoje compõe uma panorama tão grande que é impossível para um homem apenas, seja ele normal ou um gênio, dominar todas as suas vertentes.

Essa sua questão, sobre como o homem lida com quantidades, a resposta é que não, nem sempre foi assim.

Algumas tribos indígenas na América, as menos civilizadas, só desenvolveram distinção para pequenas quantidades. Ou seja, eles conseguiam dizer se ali havia 2, 3 ou 4 bananas, mas não havia a noção de 500 bananas, ou de um número muito grande, que era sempre associado a uma espécie de conceito de "infinito", quando na verdade seria um número finito de acordo com as nossas noções.

Isso se deve ao fato de que tais tribos, pouco afeitas ao comércio e a troca de bens, não precisavam ter uma formulação precisa para quantidades muito grandes (ou mesmo negativas), pois tais quantidades não lhes eram familiares nas atividades diárias. Um amontoado de 500 bananas lhes parecia uma quantidade amorfa de bananas, que antes que antes que pudessem comê-las todas, estariam podres. Suas pequenas comunidades nunca precisaram lidar com grandes quantidades.

Já os incas, um povo ameríndio mais civilizado, não desenvolveram uma linguagem escrita, mas possuiam um método interessante de fazer contagens e manipular informações basicamente numéricas. Eles criaram um algoritmo que distribuia nós em cipós, e então amarravam tais cipós numa espécie de cinto, e sempre que precisavam modificá-los, eles amarravam ou desatavam os nós necessários. Os matemáticos modernos ainda tentam decifrar quais eram exatamente os critérios que eles usavam, mas obviamente é bastante peculiar.

Os maias desenvolveram uma espécie de sistema numérico posicional simbólico, ainda que trabalhassem na base 20, ao invés da nossa familiar base 10 (isso significa que na numeração maia, havia 20 algarismos diferentes, ao invés dos nossos 10, de 0 a 9). Houve um povo, acredito que tenha sido algum povo Mesopotâmico, que chegou a trabalhar com a base de numeração 60. Outros usavam base 12 outros 5. As justificativas para essas numerações variam desde o número de de dedos que temos nas nossas mãos, a quantidade de constelações que esses povos (muitos deles, exímios astrônomos) conheciam.

Vale lembrar também do sistema de numeração Romano, que ainda aprendemos no colégio.

Mas as distinções não variam apenas em aspectos de contagem, apenas os cito por serem mais fundamentais. Na Índia, existem tribos que lidam com idéias matemáticas através de desenhos padronizados, que hoje servem para estudo de topólogos e cientistas da computação. Certas idéias geométricas e lógicas parecem ter sido também aceitas e desenvolvidas com mais facilidade em diferentes culturas. Para os gregos, basicamente o que existia era a geometria, que era considerada um reflexo da perfeição dos deuses. Causou-se muita consternação, quando um aluno de Pitágoras "descobriu" que poderia criar um número (ou comprimento) que não poderia ser expresso como razão de dois comprimentos inteiros, usando o famoso teorema de pitágoras. Hoje sabemos que esses números, os irracionais, não são nada além de um processo de completamento dos números racionais (todo número irracional pode ser o limite de uma seqüência de números racionais), mas esse conceito, naquela época onde matemática e idéias religiosas eram próximas, determinou a morte de seu descobridor.

Mas existe muito mais coisas. Hoje, temos uma formalidade matemática muito maior do que a que tínhamos no passado. Criou-se noções de demonstração formal, a partir de um conjunto de axiomas, mas isso nem sempre foi regra. Arquimedes realizou muitas de suas demonstrações matemáticas munido de uma balança e várias idéias. E nem por isso deixou de ser um gênio, um dos maiores da História. Um matemática relativamente recente, chamado Ramanujam, era um indiano capaz de realizar mentalmente os mais sofisticados cálculos, e munido de uma intuição matemática assustadora, contudo, devido talvez a sua educação tardia em matemática, carecia de conceitos formais e em geral apresentava resultados sem demonstrá-los rigorosamente.

E nada proibe que existam formulações matemáticas diferentes, baseadas em axiomas diferentes. Na verdade, é isso que permite a criação dos mais variados ramos matemáticos. Alguns permitem certas operações, outros não. Alguns lidam com um conjunto específico de objetos, outros possuem definições totalmente diferentes. Talvez o ramo mais geral da matemática é a teoria dos conjuntos, e talvez por isso seja onde os problemas mais cabeludos aparecem.

"A essência da matemática reside na sua liberdade.". Essa frase foi dita pelo eminente matemático Georg Cantor.

Basicamente é isso, a matemática pode assumir qualquer forma, sem qualquer compromisso com a realidade, tendo apenas em si a necessidade de ser consistente com os axiomas postulados. É verdade que grande parte do conhecimento matemática atual surgiu da necessidade de se explicar fenômenos físicos numa linguagem tratável e formal, mas muita da verdadeira matemática é desenvolvida antes que o homem pense em aplicações para ela, mais motivada pela curiosidade do pesquisador do que pela necessidade da humanidade naquele conhecimento específico.

[Res Cogitans]

Cabeção,
você leu a especial da Sciam ETNOMATEMÁTICA???

[user f.k.a. Cabeção]

Cabeção,
você leu a especial da Sciam ETNOMATEMÁTICA???

Li sim, boa parte dessas informações estão lá naquele especial, muito bom por sinal.

Mas já conhecia boa parte, de outros livros da história da matemática.

[Flavio Costa]

Hôje ela é baseada nos números ditos naturais 0 à 9, 10, 20, etc...

E antes? Desde o início?

Teve algum tosco que tentou diferente, como eu, pensando numa forma como a de 0 à 9, 11..19, 21...etc...?

Acho que você não foi muito feliz quanto a clareza. Aqui você quis dizer que nosso sistema de numeração é decimal e se existem sistemas de numeção diferentes?

Res, acho que o Zencem não conhece os fundamentos teóricos para fazer uma pergunta mais específica.

Zencem, na escola usamos o sistema decimal, mas há outros sistemas numéricos, tanto em tribos do passado, quanto em tribos atuais, quanto em aplicações específicas modernas.

Por exemplo, os computadores internamente não contam 1, 2, 3..., eles contam com o sistema binário 1, 10, 11, 100, 101, ... outra forma de representação dos números é a octal, que fica 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12... Mas quando você vê 10 em octal, a quantidade de elementos sendo representada é 8. Ou seja, os números são representados de forma diferente, mas á idéia é a mesma, não dá para ter "buracos" na contagem de números naturais.

Como colocou o Cabeção, há um tribo ainda existente cujos números são zero, um, dois e muitos (três ou mais). É uma Matemática mais restrita que a nossa.

Quanto à Matemática ser descoberta ou inventada, eu penso que a Matemática é uma forma de abstração da realidade. A realidade pode ser abstraída de diversas maneiras possíveis, mas as abstrações devem guardar uma certa correspondência com a realidade que ela abstrai. Portanto, variações são possíveis, mas a própria realidade impõe algumas tedências na formulação dos modelos matemáticos.

[user f.k.a. Cabeção]

Na verdade Flavio, a quantidade zero é uma noção menos intuitiva, e acho que tribos primitivas não lidavam com isso.

Já os maias tinham diversos "zeros" diferentes.

[Res Cogitans]

Res, acho que o Zencem não conhece os fundamentos teóricos para fazer uma pergunta mais específica.

Sim eu percebi isto mas só queria saber se a pergunta era realmente o que eu entendi. Desta vez, não quis ser rude, se aparentou me desculpo ao Zencem.

[Res Cogitans]

Cabeção,

fiquei curioso, como seriam "zeros diferentes"?

[user f.k.a. Cabeção]

É engraçado, pois segundo axiomas dos números naturais, é fácil provar a unicidade do zero.

suponha que existam dois zeros: 0 e 0*.

A propriedade definitória do zero é a de que A + 0 = A. Logo 0 + 0* = 0 e 0* + 0 = 0* . Pela regra da comutativdade da adição, 0 = 0*.

Na verdade, os zeros maias que eu me lembro eram de dois tipos. Um representava o zero cardinal, ou seja, o número de elementos de um conjunto vazio. Já o outro era um zero posicional, usado nas datações.

Depois eu vou dar uma olhada, para ter certeza.

[Flavio Costa]

Na verdade Flavio, a quantidade zero é uma noção menos intuitiva, e acho que tribos primitivas não lidavam com isso.

Já os maias tinham diversos "zeros" diferentes.

Sim, mesmo os gregos a princípio não tinham o zero na sua Matemática. Essa noção adquirimos dos hindus (que a desenvolveram até mesmo por razões religiosas).

Bem, aí não sei o que você chama de "tribos primitivas", mas os maias e incas realmente já tinham o zero incorporado em seus sistemas.

A tribo que eu tinha em mente era uma tribo amazônica chamada Pirahã, eles não contam o zero e mesmo o um não é exatamente 1, mas "uma quantidade próxima da unidade". Por extensão, o dois é "aproximadamente o dobro da quantidade anterior". Não demoram para pular para o "muitos", pois é difícil calcular grandes quantidades consistentes com essa imprecisão numérica.

Mas curiosamente, a língua dos Pirahã é toda muito limitada, não apenas com relação aos números. Eles não têm história, não desenvolveram um mito da criação, não têm palavras específicas para cores, a expressão artística e social é muito restrita. Geometricamente, parece que eles não diferenciam "reto" de "curvo".

[Flavio Costa]

Na verdade, os zeros maias que eu me lembro eram de dois tipos. Um representava o zero cardinal, ou seja, o número de elementos de um conjunto vazio. Já o outro era um zero posicional, usado nas datações.

Não sei se é um caso similar ao dos maias, mas a contagem é uma das características mais complexas da língua japonesa. Para começar, os números cardinais têm duas pronúncias distintas, uma de origem chinesa e outra japonesa. Então o 7 chama-se nana (japonês) ou shichi (chinês).

Só que quando são usados para contar, eles se "materializam" de maneiras diversas. Por exemplo, o sétimo mês (julho) se chama shichi-gatsu, mas jamais "nana-gatsu". Só que o pior é quando o número depende daquilo que está sendo contado, por exemplo, 2 é ni. Só que enquanto dois pratos é ni-mai, duas pessoas é futari. Então, enquanto em português falamos sozinho para indicar uma pessoa, eles têm uma palavra especial (e de certo modo obrigatória) para dizer em dupla, assim como outras contagens especiais para objetos compridos, líquidos em copo ou vaso, animais pequenos, animais grandes...

[Viper]

Mas existe muito mais coisas. Hoje, temos uma formalidade matemática muito maior do que a que tínhamos no passado. Criou-se noções de demonstração formal, a partir de um conjunto de axiomas, mas isso nem sempre foi regra. Arquimedes realizou muitas de suas demonstrações matemáticas munido de uma balança e várias idéias. E nem por isso deixou de ser um gênio, um dos maiores da História. Um matemática relativamente recente, chamado Ramanujam, era um indiano capaz de realizar mentalmente os mais sofisticados cálculos, e munido de uma intuição matemática assustadora, contudo, devido talvez a sua educação tardia em matemática, carecia de conceitos formais e em geral apresentava resultados sem demonstrá-los rigorosamente.

Ah...demonstrações rigorosas...isso é algo que pode ser bem complicado de se obter (principalmente para quem não é matemático)...

Em Física Estatística, por exemplo, existem vários resultados que só foram demonstrados rigorosamente tempos após terem sido conjecturados heurísticamente. Muitos matemáticos nutrem uma certa implicância com grande parte dos físicos devido ao fato destes utilizarem com freqüência certos pontos que ainda não foram bem estabelecidos matematicamente. Particularmente, não tenho problemas quanto a isso. Digo isso não por estar "puxando a sardinha para o meu lado", mas pelo fato de serem os resultados experimentais as entidades que mandam na Física. Se você arranja um modo, mesmo que inicialmente não muito rigoroso, de descrever e prever sistematicamente os dados experimentais e observacionais, isso pode ser trabalhado sem muitos pudores de modo a desenvolver a Teoria Física em questão. A parte do rigor matemático vem naturalmente com o tempo, já que o pessoal da área de Física Matemática trabalha justamente neste ponto. A introdução do livro de Física Matemática do Butkov, por exemplo, me pareceu bem sensata ao expor a relação usual entre Física e Matemática (pena que o livro em si seja bem fraco e incompleto)...

[Dante, the Wicked]

Na verdade Flavio, a quantidade zero é uma noção menos intuitiva, e acho que tribos primitivas não lidavam com isso.

Já os maias tinham diversos "zeros" diferentes.

Sim, mesmo os gregos a princípio não tinham o zero na sua Matemática. Essa noção adquirimos dos hindus (que a desenvolveram até mesmo por razões religiosas).

O curioso é que os gregos além de não ter o zero na aritmética, alguns (como Aristóteles) rejeitavam a existência do vácuo na física, e todos ignoravam os conjuntos vazios na lógica.
Este último tem umas conseqüencias curiosas. Alguns argumentos válidos na lógica aristotélica são inválidos no Cálculo Quantificacional Clássico a não ser que seja inserida uma premissa que afirme a existência do termo-médio. Um destes casos é a subalternação, a qual tem a seguinte forma:
Todo A é B.
Logo alguns Bs são As.

Ex:
Todo gato é mamífero.
Logo alguns mamíferos são gatos.

Agora veja o contra-exemplo:
"Todos assassinos são executados". Imagine que esta proposição é verdadeira num país onde nunca ocorreu um assassinato (ou seja,assassinos não existem). Se dela eu inferir "Alguns executados são assassinos", estarei inferindo uma falsidade (dentro do sistema) a partir de uma verdade.

Os lógicos contemporâneos chamaram esta característica da lógica aristotélica de "assunção existencial".

[o pensador]

Como o Dante já disse,o zero é um algarismo sem substância peluciar,ou seja,o zero simplesmente representa um conjunto vazio.

Eu pessoalmente diria que sendo o zero um algarismo neutro e sem ter cardinalidade positiva,ele é simplesmente o resultado de uma operaçâo matemática de subtraçâo de um determinado algarismo positivo por si mesmo.

Sendo assim o zero se fundamenta basalmente na existência prévia de um algarismo positivo e num descréscimo posterior deste mesmo algarismo.Ele reprsenta nada mais que a privaçâo acidental de um elementos previamente existente.


O Cabeçâo também já falou da complexidade da matemática,e concordo com ele..Mas no entanto nâo creio que haja um sistema matemático paralelo e indepdente de nosso sistema conhecido.,como aventou Zencem.Isto porque graficamente é impossível haver dois sistemas mensurativos distintos na matemática.

Se considerarmos o Infinito,por exemplo,nem em sentido horizontal e nem mesmo em sentido vertical há viabilidade geométrica de uma pluraridade de sistemas matemáticos perpendiculares,sem ponto de interseçâo,e portanto totalmente independentes e de cartéter específico.

Na matemática há variaçôes de valor quantittativo e jamais de valor qualitativo;existe uma variaçâo de intensidade mas nâo em natureza.

[Dante, the Wicked]

Como o Dante já disse,o zero é um algarismo sem substância peluciar,ou seja,o zero simplesmente representa um conjunto vazio.

Eu pessoalmente diria que sendo o zero um algarismo neutro e sem ter cardinalidade positiva,ele é simplesmente o resultado de uma operaçâo matemática de subtraçâo de um determinado algarismo positivo por si mesmo.

Sendo assim o zero se fundamenta basalmente na existência prévia de um algarismo positivo e num descréscimo posterior deste mesmo algarismo.Ele reprsenta nada mais que a privaçâo acidental de um elementos previamente existente.

PQP! Você era o último que precisa vir postar qualquer coisa aqui. Já falou merda aí em cima. Para Frege e para Cantor, o zero que é o número primitivo e todos outros naturais são derivados dele. Nestes, o zero é a cardinalidade do conjunto de todas as coisas que são diferentes de si próprias. O um é a cardinalidade do conjunto cujo único elemento é o conjunto de cardinalidade zero. O dois é a cardinalidade do conjunto binário cujos elementos são o conjunto vazio e o conjunto de cardinalidade um. E assim por diante:

[o pensador]

Como o Dante já disse,o zero é um algarismo sem substância peluciar,ou seja,o zero simplesmente representa um conjunto vazio.

Eu pessoalmente diria que sendo o zero um algarismo neutro e sem ter cardinalidade positiva,ele é simplesmente o resultado de uma operaçâo matemática de subtraçâo de um determinado algarismo positivo por si mesmo.

Sendo assim o zero se fundamenta basalmente na existência prévia de um algarismo positivo e num descréscimo posterior deste mesmo algarismo.Ele reprsenta nada mais que a privaçâo acidental de um elementos previamente existente.

PQP! Você era o último que precisa vir postar qualquer coisa aqui. Já falou merda aí em cima. Para Frege e para Cantor, o zero que é o número primitivo e todos outros naturais são derivados dele. Nestes, o zero é a cardinalidade do conjunto de todas as coisas que são diferentes de si próprias. O um é a cardinalidade do conjunto cujo único elemento é o conjunto de cardinalidade zero. O dois é a cardinalidade do conjunto binário cujos elementos são o conjunto vazio e o conjunto de cardinalidade um. E assim por diante:

Legal vc ter aparecido Dante.

Eu contesto a afirmativa de que o zero é o número primitivo.De que modo seria possível deduzir ou abstrair algfum conceito positivo precisamente do símbolo que representa a nulidade conceitual?Impossível.

Em termos geométricos,nâo é possível concluirmos a partir de nenhuma grandeza a noçâo de conjunto.Um conjunto é por definiçâo uma soma de algarismos cardinalmente positivos,de números inteiros naturais.

0= (5-5). (5-5)=0 agora, 0 difere de 5 porque 5 tem valor quantitativo superior e por si mesmo jamais poderia identificar e basear seu valor num algarismo nulo e sem representatitividade positiva.

0 é diferente de 5+5, e de 5 dividido por 5 também.Isto implica na impossibilidade de se traçar uma equivalência matemática entre números inteiros naturais e o zero,e paralelamente na possibilidade ideal de substrair um número outrora positivo de um conjunto para equipará-lo à Zero.

[user f.k.a. Cabeção]

Pensador, você não pode dizer que o conjunto é alguma coisa por definição, pois os matemáticos não tem nenhuma definição para o que seria um conjunto.

Na verdade, as definições possíveis são redundantes, como coleção de objetos.

A sua definição, a propósito, está errada.

[o pensador]

O conjunto dos números diferentes de si próprio deveria ser simplesmente a subtraçâo do próprio número em questâo por seu valoroes matemáticos inferiores,e nâo o zero.

Escrevi errado...Esta é a versâo corrigida de meu post acima.

[o pensador]

Pensador, você não pode dizer que o conjunto é alguma coisa por definição, pois os matemáticos não tem nenhuma definição para o que seria um conjunto.

Na verdade, as definições possíveis são redundantes, como coleção de objetos.

A sua definição, a propósito, está errada.

Cabeçâo,

Bem,um conjunto nâo precisa ser algo por definiçâo precisamente em virtude do conjunto ser temporalmente variável e sujeito à acidentes que gerem descréscimos.

De outra forma nâo há possibilidade conceitual,matemática e geométrica de um conjunto ser diferente de zero.

[O ENCOSTO]

O conjunto dos números diferentes de si próprio deveria ser simplesmente a subtraçâo do próprio número em questâo por seu próprio valor matemático,e nâo o zero.

Estes textos também vâo entrar em meu livro de Filosofia e já estâo registrados.Aguardem..

Qual é o registro?

É possível verificar no site da biblioteca nacional.

[o pensador]

O conjunto dos números diferentes de si próprio deveria ser simplesmente a subtraçâo do próprio número em questâo por seu próprio valor matemático,e nâo o zero.

Estes textos também vâo entrar em meu livro de Filosofia e já estâo registrados.Aguardem..

Qual é o registro?

É possível verificar no site da biblioteca nacional.

Sim."Temas Apologéticos" é título de um de meus tratados filosóficos.O número do registro nâo tenho em mâos nestte momento,mas colocarei à disposiçâo mais tarde(assim que encontrar os documentos).

Mas entre no site da Biblioteca Nacional e busque pelo registro de "Temas Apologéticos".Ele é só o primeiro de meus trabalhos..